The thorivox problem

Η καμπύλη ή νιφάδα Κοχ (Koch flake) κάποτε προβλημάτισε την επιστημονική κοινότητα. Πρόκειται για ένα από τα πιο γνωστά και αναγνωρίσιμα φράκταλ (σχήματα που σε οποιαδήποτε μεγέθυνση μοιάζουν με τον εαυτό τους). Ο τρόπος κατασκευής της οδηγεί σε άπειρη περίμετρο, ενώ η επιφάνεια που καταλαμβάνει είναι συγκεκριμένη.

ΠΩΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΕΤΑΙ

Στην αρχή παίρνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Χωρίζουμε την κάθε πλευρά, σε τρία ίσα ευθύγραμμα τμήματα. Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο στην κάθε πλευρά, προς τα έξω και με βάση το μεσαίο τρίτο της. Έτσι, δημιουργείται το δεύτερο σχήμα της εικόνας, το οποίο είναι το γνωστό εξάγραμμα. Αφαιρούμε από το εξάγραμμα, το τμήμα εκείνο που ανήκει στο μητρικό τρίγωνο. Έτσι, έχουμε ένα νέο κλειστό σχήμα, του οποίου η περίμετρος έχει αυξηθεί, κατά το 1/3 σε σχέση με το προηγούμενο. Έστω Α η περίμετρος του μητρικού τριγώνου. Μετά την πρώτη κίνηση αφαιρούμε Α/3 και προσθέτουμε 2Α/3. Έτσι η περίμετρος γίνεται 4Α/3. Συνεχίζουμε τη διαδικασία, χωρίζοντας όλες τις πλευρές του νέου σχήματος σε τρία ίσα μέρη δημιουργώντας νέα τρίγωνα και αφαιρώντας στη συνέχεια τη βάση των νέων τριγώνων. Η περίμετρος σε κάθε κίνηση αυξάνει κατά το 1/3 της προηγούμενης. Σε άπειρες κινήσεις, έχουμε άπειρη περίμετρο, σε περιορισμένο εμβαδό.

Η ΝΙΦΑΔΑ ΤΟΥ ΚΟΧ ΜΕ ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΣΜΙΚΡΥΝΣΕΙΣ 

Εδώ θα εισάγουμε μία ακόμη κίνηση στα βήματα κατασκευής, η οποία θα οδηγήσει σε κάτι αληθινά παράξενο. Έστω λοιπόν πως σε κάθε βήμα σμικραίνουμε το συνολικό σχήμα κατά ένα ποσοστό μικρότερο του 25%. Έστω για παράδειγμα πως το μικραίνουμε στα 7/8 του προηγούμενου. Τότε, η νέα περίμετρος θα είναι 7Α/8+(7Α/8)/3=Α+Α/6. Επομένως σε κάθε κίνηση, η επιφάνεια θα μικραίνει ενώ η περίμετρος θα μεγαλώνει. Η διαδικασία οδηγεί σε ένα σχήμα που τείνει να εκφυλιστεί σε σημείο. Ένα σχήμα με μηδενικές διαστάσεις αλλά άπειρη περίμετρο!

Ο ΣΠΟΓΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΝΓΚΕΡ

Εφαρμόζοντας την ίδια λογική και σε άλλα αντίστοιχα σχήματα, όπως ο σπόγγος του Μένγκερ (Menger sponge), καταλήγουμε σε ανάλογα εντυπωσιακά αποτελέσματα.  Ο σπόγγος του Μένγκερ, κανονικά δίνει άπειρη επιφάνεια σε περιορισμένο εξωτερικό όγκο. Σε κάθε κίνηση, αυξάνει την επιφάνειά του κατά το 1/3 της προηγούμενης. Ο όγκος μειώνεται κατά 7/27 σε κάθε κίνηση. Στην κατασκευή του, αντίθετα από την καμπύλη Κοχ, δεν προσθέτουμε κάτι, αλλά αφαιρούμε. Αφού χωρίσουμε τον κύβο σε 27 μικρούς κύβους, σε ένα σχήμα που θα μοιάζει με τον κύβο του Ρούμπικ (rubik's cube), αφαιρούμε τον κεντρικό κύβο και τους έξι μεσαίους της κάθε πλευράς. Έτσι, αν η επιφάνεια του αρχικού σχήματος είναι Β, στην πρώτη κίνηση αφαιρούμε 6Β/54 ενώ δημιουργούνται 24Β/54. Συνολικά δηλαδή η επιφάνεια αυξάνεται κατά 18Β/54. Δηλαδή κατά Β/3. Το νέο σχήμα θα έχει επιφάνεια 4Β/3. Στην πραγματικότητα ο κεντρικός κύβος δεν είναι απαραίτητο να αφαιρείται. Αν δεν αφαιρείται, σε κάθε κίνηση η επιφάνεια θα αυξάνει κατά 22Β/54 ή 11Β/27. Αν όμως τον αφαιρούμε οι αριθμοί μοιάζουν με αυτούς της νιφάδας. Συνεχίζοντας την διαδικασία στους εναπομείναντες κύβους, τελικά έχουμε άπειρη επιφάνεια η οποία περιορίζεται στα ίδια εξωτερικά όρια, ενώ ο όγκος του τείνει να μηδενιστεί.

Ο ΣΠΟΓΚΟΣ ΤΟΥ ΜΕΝΓΚΕΡ ΜΕ ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΣΜΙΚΡΥΝΣΕΙΣ 

Τι προκύπτει αν παρεισφρήσουν διαδοχικές σμικρύνσεις στην κατασκευή του; Ότι ακριβώς συμβαίνει και στη σμικρυνόμενη νιφάδα του Κοχ. Αν η σμίκρυνση δεν φτάνει το 25%, η επιφάνειά του σε κάθε βήμα αυξάνεται. αλλά ο χώρος που καταλαμβάνει ο σπόγγος μικραίνει. Η διαδικασία οδηγεί σε ένα κάτι που τείνει να εκφυλιστεί σε σημείο, δεν καταλαμβάνει καθόλου χώρο, αλλά ταυτόχρονα έχει άπειρη επιφάνεια!

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Ένας μαθηματικός θα βεβαίωνε πως δεν υπάρχει τίποτα μαγικό σε όσα προαναφέρθηκαν αφού ούτε η Νιφάδα Κοχ ούτε ο Σπόγγος του Μένγκερ πρόκειται να φτάσουν ποτέ σε μηδενικές διαστάσεις. Και σε ένα σχήμα που έχει διαστάσεις, το άπειρο μπορεί να εμφανιστεί πολύ εύκολα, έστω κι αν είναι δυσνόητο. Σωστό! Αυτό όμως το φλερτ του απείρου με το μηδέν που μετά τη σμίκρυνση στη διαδικασία κατασκευής των φράκταλ, εμφανίζονται ως όρια για τα ίδια (!) σχήματα, ταυτόχρονα, προβληματίζει. Μετά από χρόνια έρευνας έχουμε διαπιστώσει και καλά στηρίξει πως τα περισσότερα φυσικά μεγέθη είναι διακριτά (κβαντισμένα). Εκτός από όσα συνδέονται με τον αξιωμένο ως συνεχή χώρο. Το κατά πόσο αυτό είναι αλήθεια, μένει να αποδειχτεί στο μέλλον. Αν πάντως δεν είναι αλήθεια, τότε το thorivox problem λύνεται αυτόματα. Μαζί με χιλιάδες άλλα...

---

Σχετικά: Τα συνακόλουθα του thorivox problem